التفاضل للصف الثاني الثانوي (النهايات)

قبـل البـدء في دراسـة موضـوع النهـايـات فتـذكـر بعـض التعـاريـف والمفاهيم :
* أولاً : مجمـوعـة الأعـداد الحقيـقيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الطبيـعيـة
ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، …………… }
مجمـوعـة غيـر منتهيـة
- مجمـوعـة الأعـداد الصحـيحـة
ص ={... ، 4، 3 ،2 ، 1 ، 0 ، -1 ، -1 ، -3 ، .........}
ص = ص + { . } ص -
- مجمـوعـة الأعـداد النسبيــة
- مجمـوعـة الأعـداد غيـر النسبيـة ن/
بحيـث أ ، ب ص يسمـى عـدد غيـر نسبـي
مثــل:
- مجمـوعـة الأعـداد الحقيقيـة
ح = ن ن/
مـلاحظــة :
1) ط ص ن ح

2) كـل عـدد حقيقـي يمـكن تمثيـله على خـط الأعـداد بنقـطة أي أن كل نقـطة
على خط الأعـداد تمثل عــدد حقيقـي .
* ثـانيـاً : مجـال الدالـة
نعـلم من دراستنـا للدالـة

و هـذا يعنـي أن الدالـةد( س ) لهـا قيمـة عنـد جميـع الأعـداد الحقيقيـة عـدا الصفـر
و يمكـن أن نقـول أن الدالـة ليسـت معـرفـة عنـد س = 0
* ثـالثـاً : الرمـزان  ، -

عنـد اقتـراب قيمـة س من العدد صفـر أي عنـد س 0 ) س تـؤول إلـى الصفـر (

، د( 0.001 ) = 1000
**أي كلمـا اقتربـت قيمـة س من الصـفر من اليميـن فان قيمـة الدالـة تتـزايـد بصـورة مستمـرة لدرجـة أنهـا تصبـح أكبـر من أي عـدد حقيقـي موجـب ، و فـي هـذه الحـالة نستخـدم
الرمـز ( مـا لا نهـايـة )

، د( -0.001 )= -1000
أي أن عنـد اقتـراب قيمـة س من الصفـر من اليسـار فان قيمـة الدالـة تتنـاقـص لدرجـة أنهـا تصبـح أصغـر من أي عـدد حقيقـي سالـب،و فـي هـذه الحـالـة نستخـدم الرمـز- (سالـب مـا لا نهـايـة)
ملاحظـات هـامـة
* رابعـا:الكميـات المعينـةوالكميـات غيـر المعينـة
1) الكميـات المعينـة هـي الكميـة التي لهـا قيمـة محـددة
مثـلاً:

أي أن أي عـدد حقيـقـي هـو كميـة معيـنة

ليـس لهـا معنـى ( غيـر معـرفـة )
3) الكميـة التـي ليـس لهـا جـواب محــدد
مثـل:
أو أو -
تسمـى كميـات غيــر معينــة

نهـاية دالـة عنـد نقطـة

لإيجـاد قيمـة دالـة د( س ) عنـدمـا س أ
فإننا نقـول أن س = أ + هـ
عنـد هـ < صفـر فـان س < أ
عنـد هـ > صفـر فـان س > أ
و تعبـر عـن ذلـك
س أ عنـدمـا هـ 0
مثـال :
إذا كـانت س 3
يعنـي أن س تقتـرب من العـدد 3
أي أن س 3 أي س = 3 + هـ
مثـال :
إذا كـانت د( س ) = 3 س - 5 ،
أوجـد قيمـة مـا تؤول إليـه د( س ) عنـدمـا س 1

الحـل:
س 1 تعنـي أن س = 1 + هـ
د(1 + هـ) = 3( 1 + هـ ) - 5
= 3 هـ + 3 - 5
= 3 هـ - 2
عنـدمـا س 1 هـ 0
د( س ) -2 عنـدمـا س 1
و نعبـر عـن ذلـك:
نـهــا د( س ) = -2
س 1
مـلاحظـة:
في المثـال السـابـق يمكـن إيجـاد نـهــا د( س ) بإيجـاد د( 1 )
د( س ) = 3 س - 5
د( 1 ) = 3( 1 ) - 5 = 3 - 5 = -2 = نـهــا د ( س )
و من ذلـك نستنتـج أن نـهــا د( س ) = د( 1 )
مثـال :











مثـال :










و لإيجـاد نـهــا د( س )
س 3














مـلاحظـة
لإيجـاد نـهــا د( س )
س أ
- نوجــد د( أ )
1) إذا كـان د( أ ) كميـة معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = د( أ )
س أ
2) إذا كـان د( أ ) كميـة غيـر معينـة
فـإن نـهــا د( س ) = نـهــا د(أ + هـ)
س أ هـ 0

مثـال :
نهـايــة دالـة كثيـرة الحـدود
إذا كـانت د( س ) كثيـرة حـدود فـي المتغيـر س
فـإن: نـهــا د( س ) = د( أ )
س أ
نتيجـة:
إذا كـانت د( س ) = ك ، ك ح (ك عـدد ثـابـت)
فـإن نـهــا د( س ) = ك
س أ
مثـال :
أوجــد: نـهــا( 5س3 - 7س2 + 3س - 2 )
س 2
الحـل:
نـهــا د( س ) = د( 2 )
س 2
= 5( 2 )3 - 7( 2 )2 + 3( 2 )
= 40 - 28 + 6 - 2 = 16
إذا كـانـت د( س ) ، ر( س ) ، ……… ، ق( س ) دوال فـي المتغيـر س
و كـان نـهــا د( س ) = ل ، نـهــا ر( س ) = م
س أ
، نـهــا ق( س ) = ن ................ فإن
س أ
1) نـهــا [ د( س ) ر( س ) …… ق( س )]
س أ
= ل م .. ن
2) نـهــا د( س ) . ر( س ) = ل . م
س أ
3) نـهــا ك د( س ) = ك نـهــا د( س ) = ك . ل
س أ س أ

إذا كـان ق( س ) ، ل( س ) دالتيـن للمتغيـر س
و كانت ق( س ) = ل( س ) س ح - { أ }
و كانت نـهــا ل( س ) لهـا و جـود
س أ
فـإن نـهــا ق( س ) = نـهــا ل( س )
س أ س أ
- مـلاحظـات
تستخـدم نظـريـة (3) لإيجـاد نهـاية دالـة **ـريـةجبريـة
د( س ) عنـدمـا س أ و كان د( أ ) = كميـة غير معينـة
أي أن :
( س - أ ) عامل من عوامـل البسط و المقام (و يسمى بالعامل الصفري)
ولإيجـاد نـهــا د( س )
س أ
1) نختصـر العـامل ( س - أ ) من البسـط والمقـام بالتحليـل أوقسمـة كل من البسط و المقام على ( س - أ )باستخـدام القسمـة المطـولة
2) بعـد اختصـار العامـل المشتـرك نحصـل على دالـة جـديـدة
ل( س ) = د( س ) ، س أ
نـهــا د( س ) = نـهــا ل( س )
س أ س أ