حساب المثلثات للصف الثاني الثانوي

تمهيد:
نعلم أن أى مثلث يتكون من ستة عناصر ثلاثة أضلاع، ثلاثة زوايا.
مثلاً فى المثلث أ ب جـ نرمز بالحروف أ، ب، جـ لزواياالمثلث
ونرمز بالحروف أ َ، بَ، جـَ لاطوال أضلاع المثلث.
وفيما يلى سيتم عرض بعض القواعد (القوانين) التى تبين العلاقة بين قياسات زوايا المثلث وأطوال أضلاعه المقابلة لهذه الزوايا.
ملاحظة: تستخدم الالة الحاسبة لايجاد نواتج العمليات الرياضية.
قانون الجيب (قاعدة الجيب)
"أطوال أضلاع المثلث تتناسب مع جيوب الزوايا المقابل لها".
البرهان:
أولاً: أ ب جـ مثلث حاد الزواي
فى  أ ب د ق ( )= 90
أ د = أ ب جاب أ د = جـَ جا ب (1)
فى  أ د جـ ق ( ) = 90
أ د = أ جـ جا جـ
أ د = بَ جا جـ (2)
من (1)، (2)
ب َ جا جـ = جـَ جا ب
انياً: أ ب جـ مثلث منفرج الزاوية فى جـ
:مثال:
أثبت أن مساحة سطح المثلث تساوى حاصل ضرب أطوال أضلاعه الثلاثة مقسوماً على أربع أمثال طول نصف قطر الدائرة الخارجة لهذا المثلث.
الحل:
* قانون جيب التمام
مثال:
الحل:
مثال:
أوجد قياس أكبر زاوية فى المثلث أ ب جـ حيث
أ َ= 23.2 سم ، بَ = 17.8 سم ، جـَ = 13.5 سم.
الحل:
مثال:
أ ب جـ د متوازى أضلاع فيه ق ( أ) = 60 و محيطه 22 سم وطول القطر الاصغر فيه 7 سم
أوجد: طول كل من أ ب ، أ د.
* حل المثلث
نعلم أن أى مثلث يتكون من:
6 عناصر ثلاثة أضلاع وثلاثة زوايا
حل المثلث: يعنى إيجاد أطوال أضلاعه وقياسات زواياه جميعاً إذا علم منها ثلاثة عناصر أحداها طول أحد أضلاعه على الأقل.
ملحوظة:
لا يمكن حل المثلث إذا علم فيه قياسات زواياه الثلاثة.
* أولاً: حل المثلث إذا علم فيه قياسا زاويتين وطول ضلع
الحل: مثلث أ ب جـ إذا علم فيه قياسا الزاويتين ، و طول الضلع ب َ
مثال:
* ثانياً: حل المثلث إذا علم منه طولا ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما:
مثال:
* ثالثاً: حل المثلث إذا علم أطوال أضلاعه الثلاثة:
فى المثلث أ ب جـ إذا كانت أطوال اضلاعه هى:
أ َ ، ب َ ، جـَ معلومة فإن
ملحوظة:
مثال:
حل المثلث أ ب جـ الذى فيه:
أ َ = 17سم، ب َ = 12.5 سم، جـَ = 8سم.
* تطبيقات على حل المثلث
* زوايا الارتفاع والانخفاض
النقطة أ تمثل الراصد
الشعاع أ جـ (الأفقى) ، نقطة ب تمثل الهدف أو الجسم المرصود
والشعاع أ ب المار من الراصد إلى الهدف.
تسمى ) جـ أ ب( بزاوية ارتفاع.
واضح أن نقطة ب (الهدف) تقع أعلى أ جـ
النقطة أ تمثل الراصد
أ جـ الشعاع الأفقى و النقطة ب تمثل الهدف الجسم المرصود
أ ب الشعاع من الراصد إلى الهدف
تسمى ) جـ أ ب( بزاوية انخفاض.
واضح أن نقطة ب (الهدف) تقع أسفل أ جـ
ملاحظة هامة:
إذا كان (هـ ْ) هو قياس زاوية ارتفاع ب بالنسبة إلى أ
و (ى ْ) هو قياس زاوية انخفاض أ بالنسبة إلى ب فإن:
هـ ْ = ى ْ
مثال:
من قمة برج ارتفاعه 100 متر قيست زاويتا انخفاض قمة وقاعدة شجرة فوجدتا 30، 60 على الترتيب . أوجد ارتفاع الشجرة.
الحل:
مثال:
سفينة تسير بسرعة منتظمة 12 كم/ ساعة فى اتجاه الجنوب الشرقى شاهد رجل فيها عند الساعة العاشرة قلعة فى اتجاه 25 شمال الشرق وعند الساعة الثالثة بعد الظهر من نفس اليوم وجد أن اتجاه القلعة 27 غرب الشمال أوجد بعد القلعة عن السفينة فى كل من الوقتين.

الحل: