الجبر للصف الثاني الثانوي(الأسس واللوغاريتمات)

** درسنـــــــا في المرحلــــــــــة السابقــــــة (الإعدادية) ما يلـــــي:
** تعاريف أساسية :
(1) إذا كان أ ح ، ن  ص + فإن أن = أ×أ×أ× ........ ×أ حيث أ مكرر ن من المرات أن يقرأ "أ" أس ن أو أ مرفوع للقوة ن ويسمى أ بالأساس ، ن بالقوة أو الأس
(2) أ0 = 1 حيث أ  ح*
قوانين الأسس الصحيحة :
إذا كان أ، ب  ح ، م، ن  ص فإن :
1) أم × أن = أم+ن
3) (أ ب)ن = أن بن
5) ( أم )ن = أم×ن
مثال:
1( أ3 × أ5 = ...........................................................................
2( س10 × س = .......................................................................
3( 2 5 × 2 7 = ......................................................................
4( ب9 ÷ ب4 = ..........................................................................
5( 152 ÷ 112= .........................................................................
6( 5 7 ÷ 5 7 = ..........................................................................
7( (2س)5 = 2 5 × س5 = ..............................................................
9( 2 5 × 2 3 × 2 7 = 152
10( ( أ2 )3 = أ6
11( 73 × 3-5 = = 9
12( 7 3 ÷ 7 5 = 7 -2 =
13( (أ2 ب3)5 = أ10 ب15
مثال:
اختصــــــر كــــلاً مما يأتي إلى أبسط صورة :
1)
= 2 8+10-16 × 3 8+5-12 = 2 2 × 3
= 4 × 3 = 12
هامتان :
مثال:
حــــــــل كل من المعادلات الآتية :
1) 2ن = 16
الحل:
2ن = 16
2ن = 2 4 ن = 4
مجموعة الحل } 4{
الحل :
5س = 5-3
س = -3
مجموعة الحل = { -3}
3) س5 = 1
الحل:
س5 =1
س5 =51 س = 1
مجموعة الحل = {1
الحل :
5) 3 س+2 = 1
الأســــــــس ال**ــــــــــــــرية
تعريف:
لكل ن  ص+ ، أ ، ب  ح+
وعموماً
إذا كان ن  ص + ، أ  ح+
تعريف :
إذا كانت ن  ص+ ، أ < 0 ، م  ص
** فــــــــإن القيمـــــة الموجبــــــــة للمقـــــــــدار :
قوانين الأسس ال**رية :
ملحوظة :
جمع قوانين الأسس الصحيحة يمكن تطبيقها في حالة الأسس ال**رية لكل:
أ، ب  ح ، م ، ن  ن (مجموعة الأعداد النسبية)
1) أم × أن = أم+ن

3) (أ ب)ن = أن بن
الدالة الأسية
تعريف:
الدالة د(س)=أ س حيث أ  ح+ ، أ  1
تسمى بالدالة الآسية ويمكن كتابتها على الصورة:

ص = أس
ملاحظات:
1) الدالة د(س) = أ س حيث أ  ح+- {1}
مثلاً:
الدالة د : ح ح+ ، د(س) = 2س
دالة آسية أساسها 2
مثال:
إذا كانت د(س) = 3س أوجد قيمة

د(-3) ، د(-2) ، د(-1)، د(0)، د(1)، د(2)، د(3)
الحل:
د(س)= 3س
د(0) = (3)0 = 1
د(1) = (3)1 = 3
د(2) = (3)2 = 9
د(3) = (3)3 = 27

مثال: إذا كانت د(س) = 2س
اثبت أن د(أ). د(ب) = د(أ+ ب)
الحل:
د(س) = 2س
د(أ) = 2أ ، د(ب) = 2ب
د(أ) . د(ب) = 2أ × 2ب = 2(أ + ب)
د(أ+ب) = 2(أ + ب) د(أ) . د(ب) = د(أ+ ب)
مثال:
إذا كانت د(س) = أس اثبت أند(م))ن = د( م ن )
الحل:
د(س) = أس ، د(م) = أم
(د(م))ن = (أم )ن = أم ن
د( م ن ) = أم ن
(د(م))ن = د( م ن )
خواص الدالة الأسية
1) الدالة الأسية د(س) = أس معرفة لكل س  ح
إي أن مجالها هو ح ، أ  ح+ - {1}
2) حيث أن منحنى الدالة يقع بأكمله فوق محور السينات
فإن مدى الدالة الأسية د(س) = أس ، س  ح
هو ] 0 ،  [
3) الدالة الأسية د(س) = أس
تزايدية على مجالها إذا كانت أ>1
تناقصية على مجالها إذا كانت 0<أ<1
4)د(س) = 1 حيث أن الدالة الأسية د(س) = أس عند س = 0
فإن منحنى الدالة يمر دائماً بالنقطة (1،0)
5) الدالة الأسية د(س) = أس لها جميع خواص الأسس أي أنم،ن  ح ، أ  ح+-{1} فإن:
(أ) د(م) د( ن ) = د(م + ن)
(ب) د(م) ÷ د( ن ) = د(م - ن)
(جـ)(د(م))ن = د(م ن)

مثال:
إذا كانت د(س) = 3س أوجد قيمة:

د(-2)، د(-1) ، د(1)، د(2)

وإذا كانت د(س+1) + د(س-1) = 90 أوجد قيمة س

الحل:
د(س) = 3س

د(1) = (3)1 = 3

د(2) = (3)2 = 9

د(س+1) + د(س-1) = 90

3س+1 + 3س-1 = 90

3س-1 (3 2 +1) = 90

3س-1 × 10 = 90

3س-1 = 9 = (3)2

س - 1 = 2 س = 3
** قوانين اللوغاريتمات
(1) إذا كان س1 ، س2  ح+ ، أ  ح+ - }1{
فأن لوأ س1 س2 =لوأ س1 + لوأ س2
البرهان (لا يمتحن فيه الطالب)
نفرض أن لوأ س1 = ص1 س1 = أ ص1
لوأ س2 = ص2 س2 = أص2
س1 × س2 = أص1 × أص2 = أص1 + ص2
لوأ س1 س2 = ص1 + ص2
لوأ س1 س2 = لوأ س1 + لوأ س2
مثلاً:
1) لو3 15 = لو3 5×3 = لو3 5 + لو3 3
2) لو2 2×7×8 = لو2 2 + لو2 7 + لو2 8
3) لو4 5 + لو4 10 + لو4 12 = لو4 5×10×12
= لو4 600
(2) إذا كان س1، س2  ح+ ، أ  ح+ - }1{

البرهان (لا يمتحن فيه الطالب):
نفرض أن لوأ س1 = ص1 أ ص1 = س1
لوأ س2 = ص2 أ ص2 = س2

مثال:

)3( إذا كان س  ح+، أ  ح+ - }1{ ، م  ح
فإن لوأ سم = م لوأ س
البرهان:
نفرض أن لوأ س = ن أن = س
سم = (أن)م = أن م
لوأ سم = م ن
لوأ سم = م لوأ س

مثال:

4) إذا كان أ  ح+
فأن لوأ أ = 1
البرهان:
أ = أ1 لوأأ= 1
مثلاً:
لو¬5 5 = 1 ، لو¬10 10 = 1

(5) إذا كان أ  ح+ -}1{

فأن لوأ1 = صفر
البرهان:

أ0 = 1 لوأ 1 = صفر

مثلاً:
لو3 1 = 0 لو¬7 1 = 0

أختصر:
1) لو10 25 + لو10 4
الحل:
لو10 25 + لو10 4 = لو10 25×4
= لو10 100 = لو10 210
= 2 لو10 10 = 2 × 1 = 2
2) لو5 125 + لو5 625
الحل:
لو5 125 + لو5 625 = لو5 35 + لو5 45
= 3 لو5 5 + 4لو5 5 = 7لو5 5
= 7 × 1 = 7

مثال:
أثبت أن:
1) لو10 25+لو10 3-لو10 21 + لو10 28- لو10 1000=-1
الحل:
لو10 25+ لو10 3 - لو10 21+ لو10 28 - لو10 1000

= لو10 10 -1 = - لو10 10 = -1

نفس المحتوي موجود علي الرابط
http://www.4shared.com/file/135163130/636f2c08/____.html