التماس

الوحدة الثانية : التمـــــاس والزاوية المماسيـــة

تذكر أن :
المماس للدائرة يكون عمودياً على نصف القطر المار بنقطة التماس .

إذا كان :
المستقيم ل مماساً للدائرة م عند نقطة ا فإن المستقيم ل  م أ .


المستقيم العمودى على قطر الدائرة من إحدى نهايتيه يكون مماساً لها .
إذا كـــــــــــــــــــــــــان:
أ ب قطـــــراً فى الدائـــرة م ، المستقيـم ل  أ ب
من النقطـــــــة أ فإن ل ممـــاس للدائرة م عند أ


لاحـــــــــظ أن:

(1) الدائرتان المتباعدتان يمكن رسم أربع مماسات مشتركة لهما.




(2) الدائرتان المتماستان من الخارج يمكن رسم 3 مماساً مشتركة لهما


(3) الدائرتان المتقاطعتان يمكن رسم مماسين مشتركان لهما


(4) الدائرتان المتماستان من الداخل يمكن رسم مماس وحيد مشترك لهما .

(5) المماسان المرسومان من نهايتي قطر في دائرة متوازيان (إذا كان أب قطر فى الدائرة م)
ل1 مماس لدائرة عند أ  ق (ل1 أ^ م) = 900
ل2 مماس لدائرة عند ب  ق (ل2 ب^ م) = 900
 ل1// ل2
(6) المماسان المرسومان من نهايتي وتر في الدائرة يتقاطعان في نقطة واحـــــــــــدة
إذا كان : أب وتر في الدائرة م ، ل1 ، ل2 مماسان للدائرة م عند أ ،ب فإن ل 1،ل2 يتقاطعان فى نقطة ولتكن جـ تسمى كلاً من
أ جـ ، جـ ب قطعة مستقيمة مماسية ويسمى أب وتـــــــــر التمـــاس



نظريـــــــــــة (4)

القطعتان المماسيتان المرسومتان من نقطة خارج دائرة متساويتان فى الطول .

ونستنتج أن :
(1) أ م  ب جـ وينصفه ،أ م هو محور ب جـ .
(2) أ م ينصف كل من (ب أ ^جـ) ، (ب م ^جـ) .
(3) الشكل أ ب م جـ رباعى دائرى .

لاحظ أن :

فى الشكل المقابل :
إذا كان ق (ب أ ^جـ) = 600 فــــــإن
 أ ب جـ يكون متســـــاوى الاضــــــلاع .
وإذا كان طول نصف قطر الدائرة= نـــــق فإن :
أ م = 2نق ، أب =نق 3 (وحدة طول) .
ملاحظـــــــــــات هامـــــــــــــــــــة.
2- الدائرة الخارجة لمضلع هي الدائرة التي تمر برؤوسه .
3- مركز الدائرة الداخلة لمثلث هي نقطة تقاطع منصفــــــات زوايــــاه الداخلة.
4- مركز الدائرة الخارجة عن المثلث هي نقطة تقاطع محــــاور أضـــلاعــــه.
تماريــــــن (7) علي التمـــــــاس
* * أكمــل ما يلي:

(1) فى الشكل المعطى :
أ ب ، أ جـ مماسان للدائرة م فإن كان أ م = 5سم ، م جـ = 3 سم
فإن أ ب = .......... سم .

(2) فى الشكل المقابل :
أ ب ، أ جـ مماسان للدائرة م إذا كان ق (ب جـ ^م) = 250
فإن ق (^أ) = .................0

(3) فى الشكل المعطى :
س ل ، س ص مماسان للدائرة م ، ق (^س) = 500
فإن ق (^ع) = ................0
(4) فى الشكــــــــــل المقابــــل :
أب ، أء قطعتان مماستان ، ء هـ قطر فى الدائرة م ، ق (ب ء^ جـ) = 350
فإن ق (^أ) = .................0

(5) فى الشكل المعطى :
أ ب ، أ جـ يمسان الدائرة م عند ب ، جـ ، رسم الوتر ب ء // أ جـ ،
ق (ب أ^ جـ) = 400 أوجد : ق (أ جـ^ ب ) ، ق (جـ م^ ء)
الحـــــــل
................................................................................................

(6) فى الشكل المعطى :
س ص ، س ع مماســـــان للدائرة
عند ص ، ع ، ق (ص س^ ع) = 500
ق (هـ ء ^ع)= 1150
(1) أوجد ق ( س ع ^ص) (2) أثبت أن : ع س // هـ ص
الحـــــــــل
................................................................................................................................................................
(7) فى الشكل المقابل :
أب ، أ جـ قطعتان مماستان
جـ ء // أ ب
أثبت ان جـ ب ينصف (أ جـ ^ء)
الحــــــل
................................................................................................................................

( فى الشكل المعطى :
ق (^أ) = 500
أوجد قيمــــة كــــــل
من س ، ص
الحـــــل
................................................................................................
(9) فى الشكل المقابل :
أ ب ، جـ ء
مماســـــان للدائرتيــــن
أثبت أن أب = جـ ء
الحــــــل
................................................................................................................................................................

(10) فى الشكل المعطى :
أب ، أ جـ شعاعان مماسان لدائرة م ،
أ جـ  ب م =}ء{ ، ق(^ء) = 300
أوجــــــد ق ( أ ب^ جـ) .
الحــــــــل
................................................................................................................................................................

(11) فى الشكل المقابل :
م مركز الدائرة الداخلة لمثلث أب جـ
أء = 3سم ،  أ و = .........سم
ء ب = 5 سم ،  ب هـ = ......سم
و جـ = 4سم ،  هـ جـ = .....سم
محيط  أ ب جـ = .......................................................... سم


(11) فى الشكل المقابل :
دائــــــــرة م داخل  أ ب جـ إذا كان :
* ب هـ = 2سم فإن ب و = .......... سم
* أب = 6سم فإن أ و = ..........سم
* أ ء = ....... سم
جـ هـ = 6سم فإن جـ ء = .............. سم


(13) الدائرة م تمـــــــس أضـــلاع الشكـــل الرباعي
أ ب جـ ء من الداخـــــل أب = 7سم ،
ب جـ = 5سم ، جـ ء = 9سم ،
أ ل = 3ســـــم، أوجد طـــول : ب س ، جـ ص ، ء ع .
الحـــــــــل
................................................................................................................................................................

نظـــــرية (5)
مفاهيم أساسية عن التماس
* الزواية المماسية : هي الزاوية المكونة من اتحاد شعاعين.
1- أحدهمـــــــا ممـــــــاس للدائــــــرة .
2- الآخـــــر وتر فى الدائــــرة ويمر بنقطة التمـاس .
ففى الشكل المقابل : ( ب أ ^جـ) زاوية مماسية
حيـــــث :
أ جـ ممـــــــاس للدائـــــرة
أب وتراً فى الدائرة يمر بنقطة التماس أ ،
أيضاً ق ( ب ا^ جـ ) = ـــ ق (أب)

نظرية (5)

قياس الزاوية المماسية يساوى قياس الزاوية المحيطية المشتركة معها فى نفس القوس .
ففى الشكل المقابل : ب ء مماساً للدائرة م عند ب
ق ( أ جـ ^ب) = ق (أ ب ^ء) = ــ ق (أ م^ ب)
أي أن:
قياس الزاوية المماسية = ـــ قياس الزاوية المركزية المشتركة
معها في القوس .
نتيجـــــــــة

قياس الزاوية المماسية = ـــ قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في القوس .
فى الشكـــــــل المقــــــــابل
بء ممـــــــــاس للدائــــــــــــرة م
ق ( أب^ء) = ق (^ جـ)
ق (^جـ) = ـــ ق (أ م^ ب )

ق ( أب^ء) = ـــ ق ( أ م^ ب)


عكس نظريـــــــــــــة (5)

إذا رسم شعاع من إحدى نهايتي وتر في دائرة وكان قياس الزاوية المحصورة بين هذا الشعاع والوتر يساوى قياس الزاوية المحيطية المرسومة على الوتر من الجهة الأخرى كان هذا الشعاع مماسا للدائرة .
في الشكـــــل المقابل:
إذا كـــــــــــــان ق ( ب أ^ جـ) = ق (^ء)
فإن أب يكـــــــــــون مماســـــاً للدائـــرة .






تماريـــــــــن ( علـــــــى نظريـــة (5)وعكسهــــا

(1) فى الشكل المعطى :
أء = جـ ء
ق (ء ا^ جـ) = 72 0 ، ق ( ب أ^ جـ) = 36 0
برهن ان أب مماس لدائرة المارة برؤس  أ جـ ء
الحـــــــل
................................................................................................
(2) فـــــى الشكـــل المعطـــــى :
أ جـ وتر فى دائرة م ق ( أ م^ جـ) المنعكسة = 2920
، ق ( ب أ^ جـ) = 340
برهـــــن أن أب ممـــــــاس للدائرة م .
الحــــــــل
................................................................................................................................................................

(2) فى الشكل المعطى :
أجـ ممـــــــاس للدائرة عند أ ،
ق (م) = 1500 أوجد ق ( ب أ^ جـ)
الحـــــــل

................................................................
(4) فى الشكل المعطى :
ء ب ، ء جـ مماستان عند ب ، جـ ق ( أب^ جـ) = 350
ق ( أ جـ^ ب ) = 750
إوجد (ء ب ^جـ) ، ق (^ء)
الحـــــــل
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................

(5) أ ب جـ مثلث مرسوم داخل دائرة أ ء مماس لهذه الدائرة أ ء // جـ ب برهن أن
أ جـ = أب
الحــــــل
................................................................................................................................................................
(6) فى الشكل المعطى :
 أ ب جـ مرسوم داخل دائرة ،ء جـ تمس الدائرة فى جـ
ق (^ء) = 380 ، ق ( أ ب^ جـ) =95 0 إوجدق(^أ) ؟


الحـــــل
..........................................................................................................................................................................................................................................................................................
(7) فى الشكل المعطى :
ب جـ قطر فى الدائرة م ،
أء مماس عند أ ، ق ( أ جـ^ ب) = س5 ،
ق (ء أ^ جـ ) = 2 س 5
أوجد قيمة س .
الحـــــــــل
................................................................................................................................................................

مشكوووووووووووور عزيزي الاستاذ مصطفي جعلك الله لنا هداية الدرس سهل جدا جدا بفضلك ولك الشكر

افهم النظري جيدا ثم احفظه ثم اجب عن الاسئلة حتلاقي الدرس سهل جدا

السلام عليكم استاذي الفاضل اتمني ان تشرح لي المسالة دي: إذا كان مكعب س يتغير طردياً بتغير مربع ص وكانت الأزواج المرتبة (4 ، 3) ، (1 ، ص) تنتمى لعلاقة من ص إلى س أوجد قيمة ص

عزيزتي زوزو الحل سهل و بسيط جدا:
بما أن س3 تتغير طرديا بتغير ص2 اذن: س3 = ك ص2
اذن (4)3 = ك (3)2 ∴ ك = 64÷9 اذن س3 = 64/9 ص2
وبالتعويض عن س = 1 اذن 1 = 64/9 ص2 اذن ص2 = 9÷64 اذن ص = ± 9/64= ± 3/8