البرمجة الخطية للصف الاول الثانوي

*1*حل متباينات الدرجة الأولي في متغير واحد
ـ أوجد مجموعة حل المتباينات الأتية في ح و مثل الحل علي خط الأعداد .
(1) 3 س - 4  2 (2) 2 س + 5  7 (3) -5 < 4 س + 3  11
الحل :ـ
3 س  2+4 2 س  7 - 5 - 5 - 3 < 4 س  11 - 3
3س  6 ، ÷ 3 2 س  2 ؛ ÷2 - 8 < 4 س  8 ، ÷ 4
 س  2  س  1  - 2 < س  2
م ح = [ 2،  [ م ح = ] -  ، 1 ] م ح = ] - 2 ، 2 ]
ـ أوجد مجموعة حل المتباينات الأتية
[1] 2س- 5  3
[2] 3س+ 1 > 7
[3] -4  س+ 1  5
[4] س+ 2  2س+ 5  س + 11
[5] 7- 2س  5
[6] س+ 5  4
[7] 2س-3  6
[8] 3س+ 3 > 3
[9] 4س+ 1 < 12
[10] 3س  2س+ 4
في متغيرين
1ـ حل المتباينة : 2س + ص > 6
الحل :ـ نرسم المستقيم الحدي : 2س+ص = 6 و ذلك
** بالتعويض بأي قيمتين لـ س و نحسب قيم ص المناظرة لها ـ و يفضل وضع س = 0
و نحسب ص ثم نضع ص = 0 و نحسب س
ـ المستقيم يقسم المستوي إلي جزئين ف1 ، ف2 ـ نعوض بنقطة تقع في كل منهما و التي تحقق المتباينة يكون عندها الحل و يفضل التعويض بنقطة الأصل (0،0)
ملاحظة : إذا كانت علامة التباين [ < أ، > ]
يكون المستقيم متقطع
ـ إذا كانت علامة التباين [  أ،  ] يكون الخط متصل .
:. ل : 2س+ ص = 6 يمر بالنقطتين
( 0 ، 6 ) ، ( 3 ، 0 )
:. النقطة ( 0 ، 0 ) لا تحقق المتباينة 2س+ ص > 6
 الحل هو المنطقة المظللة ..
2ـ حل المتباينة س  -2
الحل :ـ
المستقيم الحدي ل : س = -2 يمثله خط مستقيم
يوازي محور الصادات و يمر بالنقطة ( -2 ، 0 )
:. نقطة الأصل تحقق المتباينة س  -2
حيث 0  -2  الحل هو المنطقة المظللة ...
ملاحظات :::
..............................................................
..............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
.............................................................
3ـ حل المتباينة ص  2
الحل :ـ
المستقيم الحدي ل : ص = 2
يمثله خط مستقيم يوازي محور السينات
و يمر يالنقطة ( 0 ، 2 )
ـ النقطة ( 0،0) تحقق المتياينة ص < 2 لأن
0 < 2  الحل هو المنطقة المظللة ..
4ـ حل المتباينة 2س+ 3ص  6
الحل :ـ
المستقيم الحدي ل : 2س + 3ص = 6
يمر بالنقط ( 0، 2 ) ، ( 3، 0)
:. النقطة ( 0،0) لا تحقق المتباينة
2س+3ص  6 لأن 0+0 < 6
 الحل هو المنطقة المظللة ..
الحل البياني لمتباينتين أو أكثر من الدرجة الأولي في متغيرين ..
ـ مثال1:
حل المتباينتين 2س+ ص  4 ، ص  -1
الحل :ـ
نحل المتباينتين بيانياً في نفس الشكل
فيكون الحل هو منطقة التقاطع ..
:. ل1 : 2س + ص =
4 يمر بـ ( 0 ، 4) ، ( 2، 0)
، ل2 : ص = -1 يوازي محور السينات و يمر بـ ( 0، -1)
ـ لاحظ أن الحل هو المنطقة التي تحل
كل من المتباينتين معاً
:. النقطة ( 3، 2) تحقق كل من المتباينتين
 الحل هو المنطقة المظللة ..
تمرين :
حل المتباينتين س  0 ، ص  0
الحل :ـ

2ـ أوجد مجموعة حل المتباينات الأتية بيانياً
س  0 ، ص  0 ، 2س + ص  4
الحل :ـ
ل1 : س = 0 هو محور الصادات ، ل2 : ص = 0
هو محور السينات
و المتباينتين س  0 ، ص  0

يحددان دائماً معاً الربع الأول
ل3 : 2س + ص= 4 يمر بالنقط
( 0 ،4) ، ( 2، 0)
النقطة (0،0) تحقق كل المتباينات
 الحل هو المنطقة المظللة ..
3ـ أوجد مجموعة حل المتباينات الأتية بيانياً
س  0 ، ص  0 ، س + ص  4 ، 2س+ ص  6
الحل :ـ
ـ كما سبق المتباينتين س  0 ، ص  0
يحددان دائماً معاً الربع الأول
ل1 : س+ ص = 4 يمر بـ ( 0،4) ، (0 ، 4)
ل2 : 2س+ ص= 6 يمر بـ ( 0،6) ، ( 3، 0)
الحل هو المنطقة المظللة ..

** أوجد مجموعة حل المتباينات الأتية بيانياً .
[1] س  -1 ، ص < 2
[2] س  3 ، ص  1
[3] س  2 ، س+ ص > 3
[4] س+ 2ص  2 ، 2س + ص  4
[5] س  0 ، ص  0 ، 4س+ ص  4
[6] س  -2 ، ص  -1 ، 2س + 3ص < 0
[7] س  0 ، ص  0 ، ص  س + 3 ، س + 2 ص  4

البرمجة الخطية
ـ هي وسيلة لإعطاء أفضل قرار في حل مشكلة .
ـ أو هي الحل الأمثل لتحقيق هدف معين علي صورة دالة خطية [ ر = أ س + ب ص ]
و لإيجاد الحل المطلوب ( أكبر قيمة أو أصغر قيمة ) نحدد منطقة الحلول المشتركة للمتباينات الموجودة
فنجد أنه يحددها رؤوس مضلع ..
ـ و بالتعويض بهذه الرؤوس في دالة الهدف نحصل علي النقطة التي تحقق المطلوب ( دالة الهدف )
(( و الأمثلة التالية توضح ذلك )) 

مثال1: عين مجموعة حل المتباينات الأتية معاً بيانياً
س  0 ، ص  0 ، ص- س  3 ، 2ص+5 س  20
ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ( س، ص) التي تجعل ل أكبر ما يمكن حيث ل = 5س+3ص ..

الحل :ـ
ـ كما سبق المتباينتين س  0 ، ص  0 يحددان دائماً معاً الربع الأول
ـ ل1 : ص- س = 3 يمر بـ ( 0 ، 3) ، ( 1 ، 4 )
ـ ل2 : 2ص+ 5س = 20 يمر بـ ( 0 ، 10 ) ، ( 4 ، 0)
ـ فضاء الحل هو المضلع أ و جـ ب
حيث أ ( 4 ، 0 )، و (0،0) ،جـ ( 0، 3)، ب( 2،5)
:. دالة الهدف ل = 5س+3ص ..
بالتعويض بالنقط للحصول علي المطلوب
 ل أ = 5×4+ 3×0 = 20
، ل ب = 5×2+ 3×5 = 25
، ل جـ = 5×0 + 3×3 = 9
، ل و = 5×0+ 3×0 = صفر

 ل أكبر ما يمكن عند ب ( 2، 5 )

ملاحظات هامة :-
..........................................................................................................
..........................................................................................................
..........................................................................................................

2ـ أوجد بيانياً مجموعة حل المتباينات الأتية
س  0 ، ص  0 ، س+ 2ص  4 ، س + ص  3
ـ ثم أوجد من مجموعة الحل قيم ( س، ص) التي تجعل ( ر ) أقل ما يمكن حيث ر = 5س+ 4ص .
الحل :ـ
ل1 : س + 2ص = 4 يمر بـ ( 0، 2 ) ، ( 4 ، 0)
ل2: س+ ص= 3 يمر بـ ( 0، 3 ) ، ( 3 ، 0 )
الحل هو المنطقة المحددة بأسفل
بالنقط أ ( 4، 0) ، ب( 2، 1) ، جـ ( 0، 3)
:. ر = 5س+ 4ص
 ر أ = 5× 4 + 4×0 = 20
، ر ب = 5×2+ 4×1= 14
، ر جـ = 5×0+ 4×3= 12
3ـ مطحن لديه 80 كجم من الذرة ، 120 كجم من القمح ـ ينتج نوعين من الدقيق و يضعه في أكياس ، بحيث يلزم للكيس من النوع الأول كيلو واحد من الذرة ، 3 كجم من القمح ـ يلزم للكيس من النوع الثاني 2 كجم من الذرة ، 2 كجم من القمح ـ أوجد عدد الأكياس من كل نوع التي يجب أن ينتجها المطحن ليكون دخله أكبر ما يمكن ، علماً بأن ثمن الكيس من النوع الأول 4 جنيه ، النوع الثاني 2 جـ .
الحل :ـ
ـ :. س  0 ، ص  0 ، س + 2ص  80 ، 3س+ 2ص  120
، دالة الهدف : ر = 4س+ 2ص ..
ـ ل1: س+2ص= 80 يمر بـ ( 0 ،40 ) ، ( 80 ، 0)
ـ ل2: 3س+2ص= 120 يمر بـ ( 0، 60 ) ، ( 40 ، 0)
ـ منطقة الحل هو المضلع أ و جـ ب حيث
أ(40، 0) ، و(0،0) ،جـ (0، 40) ، ب(20، 30)
، دالة الهدف : ر= 4س+2ص
ر أ = 160 ، ر و = 0 ، ر جـ = 80 ، ر ب =140
يكون الدخل أكبر ما يمكن عند أ ( 40، 0)
أي أن المطحن ينتج 40 كيس من النوع الأول

4ـ يراد وضع نوعين من الكتب أ ، ب علي رف
مكتبة طوله 96سم ، و حمولته القصوي 20كجم ، فإذا كان وزن الكتاب من كلا النوعين هو 1كجم ، و سمك الكتاب من النوع أ هو 6سم ، و من النوع ب 4سم ـ أوجد عدد الكتب من كل نوع التي توضع علي الرف بحيث يكون عددها أكبر ما يمكن .
الحل:ـ




:. س  0 ، ص  0 ، س+ ص  20 ، 6س+4ص  96 ، دالة الهدف ر = س+ ص
 ل1 : س+ص= 20 يمر بـ ( 0، 20) ، ( 20، 0)
، ـ ل2 : 6س+4ص= 96 يمر بـ ( 0، 24) ، ( 16 ،0)
الحل هو المنطقة المضلعة أ و جـ ب
حيث أ(16، 0) ، و(0،0) ، جـ ( 0 ،20) ، ب( 8، 12)
، :. ر = س+ ص
 ر أ = 16 ، ر و = 0 ، ر جـ = 20 ، ر ب = 20
 أكبر قيمة عند جـ ( 0، 20) ، ب ( 8، 12)
ـ أي أنه نضع 20 كتاب من النوع الثاني فقط
أو نضع 8 كتب من النوع الأول ، 12 من النوع الثاني ..


5ـ قررت إحدي الشركات أن تقدم وجبة خفيفة لموظفيها تتكون من صنفين ، بحيث تتوفر في الوجبة الواحدة لكل شخص 4 وحدات علي الأقل من فيتامين أ ، 9 وحدات من فيتامين ب ـ فإذا كانت الوحدة من الصنف الأول تعطي في المتوسط وحدة فيتامين أ ، 3 وحدات فيتامين ب ـ و ان الوحدة من الصنف الثاني تعطي في المتوسط وحدتين من فيتامين أ ، 3 وحدات من فيتامين ب ـ وكان سعر الوحدة من الصنف الأول 75 قرش ، وسعر الوحدة من الصنف الثاني 50 قرش ـ فكم عدد الوحدات من الصنفين يعطي أرخص وجبة و تتضمن الحد الأدني من الفيتامينات .